Praktische opdracht Wiskunde-B havo-4

Probleemstelling

1. 1. Noem enkele maatregelen die in de laatste jaren genomen zijn om files te voorkomen.
   2. Beschrijf de nadelen van een file voor de automobilist, voor de verkeerspolitie en voor de samenleving.

Probleem verkennen

2. Een auto rijdt met een snelheid van 90 km per uur.
   1. Hoeveel meter legt de auto per seconde af?
   2. De remweg W in meters die een auto tijdens het remmen aflegt, kun je berekenen met de formule W = 0,0075 V²
      Hierin is V de snelheid in km per uur.
      Bereken de remweg van de auto.
   3. De tijd die verstrijkt tussen het moment dat iemand ziet dat hij moet remmen en het tijdstip waarop hij daadwerkelijk het rempedaal indrukt, heet de reactietijd.
      Laat met een berekening zien dat een auto bij een snelheid van 90 km per uur en een reactietijd van 0,3 seconde nog 7,5 meter aflegt.
   4. Geef een formule die de reactieafstand R (in meters) uitdrukt in de snelheid V (in km per uur) bij een reactietijd van 0,3 seconde.
3. Neem aan dat alle auto's op een weg met een snelheid van 90 km per uur rijden, een onderlinge afstand van 70 meter aanhouden en gemiddeld 5 meter lang zijn.
   Laat met een berekening zien dat elke minuut 20 auto's het meetpunt passeren.
   
4. Als je wilt weten hoe de doorstroming bij verschillende snelheden en verschillende onderlinge afstanden is dan kun je daar een goed overzicht van krijgen met behulp van een spreadsheet.
   Vul het spreadsheet in op de volgende manier:
   1. In cel B1 vul je de autolengte in, in het voorbeeld is dat 4
   2. In de cellen B3 t/m T3 vul je de afstanden 10 t/m 100 in.
      (vul in B3 10 in, en in B4 15, dan kun je de rest met de vulgreep doen)
   3. In de cellen A6 t/m A20 vul je de snelheden 30 t/m 100 in.
      (vul in A6 30 in, en in A7 35, dan kun je de rest met de vulgreep doen)
   4. Zorg er voor dat de doorstroming per minuut in cel B6 komt door de volgende formule in te vullen:
      = ($A6 * 1000) / (($B$1 + B$3) * 60)
      Leg die formule uit!
   5. Kopieer die formule m.b.v. de vulgreep naar de cellen ernaast en eronder.
      Excel past de formules automatisch aan, maar de getallen en/of letters waar een dollarteken voor staan, worden niet aangepast.
   
   
   
   
   6. In cel V6 staat de stopafstand bij een snelheid van 30 km/uur, in V7 de stopafstand bij 35 km/uur, in V8 de stopafstand bij 40 km/uur, enz.
      Daarbij is gerekend met een reactietijd van 0,3 seconde.
      Leg uit dat de volgende formule in V6 moet worden ingevoerd:
      =0,3*A6/3,6+0,0075*A6^2
   7. Zet in de vorige formule op de juiste plaatsen dollartekens, en kopieer die formule m.b.v. de vulgreep naar de cellen eronder.
   8. Het lijkt in de tabel misschien dat de doorstroomsnelheid het grootst is bij een snelheid van 100 km/uur en een onderlinge afstand van 10 meter, want dan is de doorstroomsnelheid 119 auto’s per minuut. Maar bij 100 km per uur is de stopafstand 83,3 meter, en dat betekent dat een afstand van 10 meter wel heel onveilig is. Als je een afstand van 85 meter aanhoudt (83,3 afgerond op 5 m) dan is de doorstroomsnelheid maar 19 auto’s per minuut, en dat is dus minder dan de 36 bij een snelheid van 30 km/uur. De doorstroomsnelheden, die bij een afstand horen die groter of gelijk aan de stopafstand is, zijn vetgedrukt.
      Wat is, als je als afstand de stopsnelheid aanhoudt, de grootste doorstroomsnelheid?
      
5. Maak soortgelijke tabellen in Excel als hierboven, maar
   1. neem nu als autolengte 5 meter. Wat wordt de grootste doorstroomsnelheid in dat geval, als je als afstand de stopsnelheid aanhoudt? Print de tabel uit, zorg er voor dat ook in deze tabel de doorstroomsnelheden, die bij een afstand horen die groter of gelijk aan de stopafstand is, vetgedrukt zijn.
   2. Maak ook nog zo’n tabel met autolengte 8 meter. Wat wordt de grootste doorstroomsnelheid in dat geval, als je als afstand de stopsnelheid aanhoudt? Print de tabel uit, zorg er voor dat ook in deze tabel de doorstroomsnelheden, die bij een afstand horen die groter of gelijk aan de stopafstand is, vetgedrukt zijn.

Plan maken

Plan uitvoeren

6. We zoeken een formule voor de doorstroming D
   1. Leg uit dat de doorstroming berekend kan worden met de formule:
      
   2. Laat zien dat je dit kunt herleiden tot de formule:
      
   3. Plot de grafiek bij deze formule m.b.v. de grafische rekenmachine, maak er ook een schets van in je werkstuk (je kunt ook een grafiekenprogramma op de computer gebruiken en daarmee afdrukken, bijv. VUGrafiek, dat kun je downloaden van de wiskundesite van het LC).
   4. Bij welke snelheid is de doorstroming maximaal?
      Hoeveel auto's passeren in dat geval per minuut een meetpunt en hoe groot is hun onderlinge afstand?
   5. Is de gevonden oplossing realistisch?
      Zo niet, welke van de aannames is volgens jou het minst realistisch?
      
7. Het model is realistischer te maken door vooraf minder aannames te maken. Je kunt bijvoorbeeld beredeneren dat in de ochtendspits de gemiddelde autolengte meer dan 4 meter is vanwege het vrachtverkeer.
   1. Neem aan dat de gemiddelde autolengte 6 meter is.
      
      Laat zien dat de formule voor de doorstroomsnelheid dan als volgt wordt:
      
   2. Wordt de maximale doorstroming in dit geval groter of kleiner? Wat betekent dat in de praktijk?
   3. Bereken voor nog vier waarden van de gemiddelde lengte l van de auto’s de maximale doorstroming, de bijbehorende snelheid, en de onderlinge afstand van de auto’s. Doe dat m.b.v. de grafische rekenmachine, geef ook de formules die er bij horen. Kies daarbij ook een waarde voor l die past bij verkeer waaraan veel vrachtauto’s deelnemen.
8. Veel files ontstaan bij slecht weer. Wat dan verandert is de factor 0,0075 in de formule van de remweg uit punt 2: W = 0,0075 V²
   Bekijk of deze factor groter of juist kleiner wordt bij slecht weer. Bedenk wat die factor zou kunnen worden bij slecht weer. Wat wordt in dat geval de formule voor de doorstroomsnelheid, en wat wordt in dat geval de maximale doorstroomsnelheid bij een lengte van 4 meter. En bij 5 meter, en bij 8 meter ?
   
9. Tot nu toe heb je als onderlinge afstand de stopafstand plus de reactieafstand genomen. Je kunt beredeneren dat je deze afstand kleiner kunt nemen, omdat de auto voor je niet ineens stil staat.
   In het Excel-werkblad, dat je bij punt 4 en 5 gemaakt hebt kun je bij verschillende afstanden zien wat de doorstroomsnelheid is. De doorstroomsnelheden, die bij een afstand horen die groter of gelijk aan de stopafstand is, zijn in dat werkblad vetgedrukt. Maar als je rekening houdt met het voorgaande dan mag de afstand wel iets kleiner zijn dan de stopafstand.
   Wat lijkt je redelijk en wat wordt in dat geval de grootste doorstroomsnelheid bij een lengte van 4 meter. En bij 5 meter, en bij 8 meter ?
   
10. De politie hanteert de kreet "Houdt 2 seconden afstand".
    Is dat meer of minder dan de stopafstand, waarmee in punt 1 t/m 8 gerekend is. Wat betekent dat voor de doorstroming?
    

Conclusie

Deze opdracht moet je uitvoeren in groepjes van 2 (of drie, als het anders niet uitkomt),
Je maakt er een schriftelijk verslag van.

• Het verslag bevat een voorblad waarop de namen van de leden van het groepje en de titel van de opdracht.
• Dan de inhoudsopgave.
• Dan de uitwerking van de opdrachten 1 t/m 10. Je moet het zo beschrijven dat het ook te volgen is voor iemand die het opdrachtenblad niet heeft.
• Verder moet je niet alleen de antwoorden opschrijven maar je moet ook uitleggen hoe je aan het antwoord gekomen bent.
• Je voegt aan het verslag ook een logboek toe, daarin staat beschreven wie wat en wanneer gedaan heeft.
• Het verslag lever je uiterlijk ...................... persoonlijk bij me in.
• De beoordeling gaat via STIP : S=struktuur , T=techniek en taal, I=inhoud, P=presentatie en proces