Wiskundesite van het Lauwers College te Buitenpost                 © R.J. van der Beek
 

PO Wiskunde, over beweegbare werktuigen: hijskranen, strijkplanken, busdeuren, tekenapparaten, enz.

Werk de volgende opdrachten uit. Je moet het zo beschrijven dat het ook te volgen is voor iemand die het opdrachtenblad niet heeft.

Verder moet je niet alleen de antwoorden opschrijven maar je moet ook uitleggen hoe je aan het antwoord gekomen bent.
Gebruik illustraties en tekeningen om de antwoorden te verduidelijken.
Verklaar de dingen zo helder mogelijk op een wiskundig verantwoorde manier.

Bij sommige voorbeelden maak je gebruik van de computer.
Bij de voorbeelden 9 en 10 is het de bedoeling met bewegende hijskranen op de computer te experimenteren.
Bij opdracht 18 moet je ook gebruik maken van een applet op een site.

Voorbeeld 1: Torenkraan



Zulke reusachtige kranen zie je bij elk bouwwerk van enige omvang.

De horizontale hoofdarm boven op de toren kan draaien en blijft steeds horizontaal.
Langs de hoofdarm glijdt de loopkat; dus van de toren af of er naar toe.
Onder de loopkat hangt de takel met de last, datgene wat de kraan moet verplaatsen. De last hangt aan de hijskabel.
Door de hijskabel met de hijslier op of af te rollen, gaat de last omhoog of omlaag.
Met deze drie bewegingen (draaien, loopkat verplaatsen en last omhoog of omlaag bewegen) kan de kraanmachinist de last ophalen en brengen waar nodig is.

Hier links zie je wat details.

De hijskabel is één doorlopend geheel. Hij zit vast aan het uiterste einde van de looparm, gaat via katrollen door de loopkat en de takel en komt boven de toren bij de hijslier, die hem kan opwinden en afrollen.
Heel bijzonder is het volgende: als de hijslier op de rem staat, kan de loopkat nog wel langs de hoofdarm bewegen. Toch beweegt de last dan niet op of neer!


Opdrachten Torenkraan

  1. Leg uit hoe dat kan.
  2. Als de kraanmachinist de kabel één meter aantrekt, hoeveel meter gaat de last dan omhoog ? Verklaar je antwoord.
  3. Hiernaast zie je nog een andere loopkat en takel. Hier hangt de last (schijnbaar!) aan vier kabels. De kabel is echter ook nu weer één doorlopend geheel, er worden diverse katrollen gebruikt.
    Als de kraanmachinist in dit geval de kabel één meter aantrekt, hoeveel meter gaat de last dan omhoog ? Verklaar ook hier je antwoord.
  4. Bij de torenkraan beweegt de last tijdens het bewegen van de kraan niet op of neer als de hijslier met de rem is vastgezet. Men spreekt daarom van een horizontale lastweg.
    Waarom is een horizontale lastweg erg handig bij hijskranen in de bouw en de havens?

Voorbeeld 2: Antieke waterput

Je zult toch maar elk litertje water dat je gebruikt voor koken, wassen en drinken eigenhandig met een emmer en een touw uit de put moeten halen. Toch was dat vroeger in Nederland heel gewoon en is het in sommige streken van de wereld nog steeds zo...

Putten kunnen diep zijn. In woestijngebieden is 60 meter heel gewoon en 25 meter in Nederland ook.
Vandaar dat er slimme trucs bedacht zijn om met minder touw dan verwacht toch de diepte te 'overbruggen'.

Isaac Beeckman maakt op 18 juli 1612 in zijn dagboek de volgende aantekening daarover met een tekening erbij. Een tikkeltje oud, zijn taal. Maar best te begrijpen.
Water putten
Jan Boom seyde, dat hy een kunste wist,
die schier niemant meer en wiste ende
was, dat hy eenen emmer waters op konde
halen met half soveel touwe op te
trecken als den put diep was ende en wilde
dat my niet leeren.

Opdrachten Waterput

  1. Een emmer optrekken door half zoveel touw aan te trekken als de put diep is, dat kan natuurlijk niet!
    Of toch wel? Maar hoe dan precies? Kun je Jan oom's plan verklaren ?
    Tip: Als je het touw 1 meter omhoog trekt moet de emmer 2 meter omhoog komen. Dat is het omgekeerde van wat er bij de eerste hijskraan gebeurde. Zet de tekening van de torenkraan maar eens op de kop, misschien snap je het dan.

Voorbeeld 3: De strijkplank

Het raadsel van de strijkplank: verschillende hoogtes, maar altijd horizontaal!
Hier twee standen, voor de grotere huisvrouw en kleinere huisman. En een blik onder de plank.



Opdracht Strijkplank

  1. De vraag is: Hoe doet die plank dat?
    In een tekening van het zijaanzicht van de strijkplank kun je dat goed onderzoeken.
    De plaats van het draaipunt, dat is het punt waar de poten van de poten elkaar kruisen, is belangrijk.
    De lengtes van de stukken onder en boven dat draaipunt moeten aan de een of andere voorwaarde voldoen, anders gaat het mis.
    Welke voorwaarde is dat? Leg uit waarom die voorwaarde moet gelden.
    Als de ene poot 180 cm is, en de andere is 150 cm, en het draaipunt zit bij de lange op 40 cm. van het boveneind, waar zit het dan bij de korte ?

Voorbeeld 4: Een Hoogwerker

In alle standen is het blad van de strijkplank horizontaal.
Bij omhoog brengen van het blad wordt het parallel verplaatst.
Parallelverplaatsing is van groot belang bij hoogwerkers, dat is duidelijk.
Het mechaniek van deze schaarhoogwerker moet dus ook parallelverplaatsing opleveren.

Opdrachten Hoogwerker

  1. Je kunt de poten van een strijkplank in de hoogwerker herkennen. Hoe en waar ?
  2. Bij de strijkplank schuiven de poten over de grond als de plank in een hogere stand wordt gezet.
    Hoe zit dat bij deze schaarhoogwerker?

Voorbeeld 5: Een Motorheftafel

Garagehouders willen graag goede spullen om auto's en motorfietsen omhoog te brengen, zodat repareren mogelijk wordt en de ruggen van de technici worden gespaard.
Ook bij de hier afgebeelde motorheftafel is parallelverplaatsing aan de orde.

Opdrachten Motorheftafel

  1. Maak een (schematisch) tekenfilmpje waarin de mogelijke beweging van deze heftafel is te zien. Dwz: teken de heftafel in opeenvolgende standen in een rijtje kleine tekeningen.


    (verkleind voorbeeld)
  2. Welke figuur wordt steeds gevormd door het zijaanzicht van de motorheftafel. En door welke wiskundige eigenschap is dus te verklaren dat het bovenvlak steeds horizontaal blijft ?

Voorbeeld 6: De Treindeuren

De deuren van treinen en bussen worden met een betrekkelijk eenvoudig mechaniek bediend.
De deur gaat naar buiten open en beschrijft daarbij een boog, waarbij de richting waarin de deur ligt eigenlijk nauwelijks verandert. Tot slot komt de deur weer dichter naar de wand van de bus of de trein, naast het deurgat. Twee stangen zorgen er voor dat dit lukt. Zie de foto's.



Opdrachten Treindeuren

  1. Hier moet je het mechaniek in bovenaanzicht tekenen om de beweging te kunnen beschrijven.
    Maak weer zo'n filmpje als bij de motorheftafel.
  2. Waarom zit er een bocht in de linker en rechter stang?

Voorbeeld 7: De Pantograaf

Een vergroter van punaises en karton!
Deze Verdubbelaar kun je zelf met kartonnen stroken en punaises maken.

In tekening:


Bij F zit de punaise met de punt in de tafel, in ieder geval aan het tekenblad vast. Het is een geFixeerd punt.
Bij de zes D's steken de punaises door twee stroken karton. Het zijn Draaipunten.
Het punt bij V volgt de gegeven figuur die er onder te zien is.
Bij T zit een potloodstift, met een klein extra gewichtje van twee eurostukken en een plakbandje. Dat is het Tekenpunt.
Je kunt ook het tekenpunt T met de hand leiden, terwijl je naar V kijkt om V over de gegeven figuur te voeren.

De figuur die door T getekend wordt, is een vergroting van de figuur waar V over loopt.

Opdrachten Pantograaf

  1. Wat is de vergrotingsfactor? Verklaar je antwoord.
    Tip: Trek in het schetsje hierboven de lijn FT. Op die lijn ligt punt V, vanwege symmetrie. Gebruik die lijn bij een verklaring van de werking van deze vergroter.
  2. Je zou ook een potlood kunnen bevestigen aan één van de punten D.
    Levert dat ook een vergroot-mechaniek op of wordt de gegeven tekening bij V dan vervormd weergegeven? Leg uit.

    Een ander model van een pantograaf zie je hier rechts.
    Deze pantograaf vind je op: http://www.ies.co.jp/math/java/geo/panta/panta.html
    Je kunt m.b.v. het applet op die site een figuur tekenen en bekijken hoe die vergroot wordt.

  3. Wat is de vergrotingsfactor hier ? Verklaar je antwoord.
  4. Je kunt de maten van deze pantograaf een beetje veranderen, zodat hij ook een verdubbelaar is. Bij welke maten is het een verdubbelaar ?

Voorbeeld 8: Stangenvierhoeken

Stel je de hier getekende figuren voor als gemaakt van latjes of stangen en met scharnierende hoekpunten.
Dit weet je vast wel: Driehoeken zijn star maar de vierhoeken zijn beweeglijk.


De technische term voor zo'n beweeglijke vierhoek is: stangenvierhoek .

De stangenvierhoek van het volgende voorbeeld kun je goed met stroken en punaises maken.

De vijf-drie-drie-drie

Van vierhoek ABCD zijn A en B punten die op hun plaats blijven (gefixeerd). Alle punten zijn
wel scharnierpunten. Verder geldt: AB = 25 cm, BC = CD = DA = 15 cm.
Het is dus net zo'n vierhoek als de rechter vierhoek ABCD in de figuur hier boven, maar de lengten daar kloppen niet.

Opdrachten vijf-drie-drie-drie-stangenvierhoek

  1. Maak de vijf-drie-drie-drie-stangenvierhoek van kartonnen stroken.
    Zet A en B met punaises op de ondergrond vast. Zet de stroken bij C en D met punaises en plakbandjes vast, zodat ze daar kunnen draaien.
    Leg er een blaadje onder, prik een pen door het karton bij C.
    En beweeg punt C zo ver het kan, zorg er voor dat de baan van punt C met de pen getekend wordt op het papier.
    Geef op het papier ook aan waar punt D kan komen.
    Denk er om dat C en D ook naar beneden, onder AB, gedraaid kan worden.
  2. Teken op dezelfde manier de baan van het midden van CD. Dat is een merkwaardige figuur!
  3. Wat zijn de symmetrie-assen van die figuur ?

  4. Welke stangenvierhoek is in de klapstoel, die je in de figuur hier onder (rechts) ziet, te ontdekken? Geef het met een tekening aan.
    Zet een D bij de scharnierpunten en een F bij de niet-verplaatsbare punten.
    (Ga er van uit dat de lange poten op de grond staan, en dat korte poten met de zitting kunnen bewegen.)
  5. Welke stangenvierhoek is in deze treinstoel te ontdekken? Geef het met een tekening aan.
    Zet een D bij de scharnierpunten en een F bij de niet-verplaatsbare punten.



Voorbeeld 9: De hijskraan op de computer.

De gewoonste hijskraan die er is: zo'n rijdend wagentje met een arm.
Die vind je als eerste van de twee hijskranen als je op applet voor twee hijskranen klikt.

Bediening:
Je kunt de rode stippen verslepen. Er staat bij wat het effect is, maar dat kun je ook wel direct zien:
  • Als je punt rechtsonder versleept verplaats je de hijskraan.
  • Als je punt rechtsboven versleept verplaats je het rolpunt van de hijskabel.
  • Als je punt linksboven versleept verplaats je het armeinde.
  • Wil je de lengte van de hijskabel veranderen, versleep dan het onderste punt van de vertikale
  • hijskabel, die links getekend is.
  • Wil je de lengte van de kraanarm veranderen, versleep dan het onderste punt van de vertikale kraanarm, die naast de hijskabel getekend is.
  • Wil je de baan van de last zichtbaar maken, versleep dan het rode punt onder de paarse balk naar rechts.

Als je van deze kraan de hijslier stil zet en de kraanarm beweegt, zal de last niet op dezelfde hoogte blijven, zoals dat bij de torenkraan het geval was.
In de terminologie die we bij de torenkraan leerden: De gewone kraan heeft geen exact horizontale lastweg.
Toch is het mogelijk een flink stuk (bijna) horizontale lastweg te creëren. Let wel: bij het draaien van de arm blijft de last dan dus redelijk op dezelfde hoogte.
Daartoe moet het rolpunt bovenin goed gekozen worden. Dat is dan ook verplaatsbaar.

Opdrachten gewone hijskraan

  1. Onderzoek hoe je het rolpunt moet plaatsen om een zo goed mogelijke horizontale lastweg te krijgen, en geef aan waar die plaats is.

    Als je er voor kiest om de totale lastweg zichtbaar te maken, blijken er nog heel andere bijzondere dingen te kunnen optreden. Dan teken je de lastweg, zoals de computer die aangeeft, ook onder de grond en achter de kraan.
    Zo kunnen er lussen en knikken in de lastweg optreden. Zie maar hiernaast.

  2. Onderzoek hoe je zo'n vreemde knik in de totale lastweg kunt verkrijgen en probeer een verklaring te geven.

Voorbeeld 10: Kraan met vertikaal geleide arm

Er zijn ook kranen met een vertikaal geleide arm.
Het linkereind van de kraanarm kan dan vertikaal op en neer kan bewegen.
Bij zo'n kraan is wel sprake van een horizontale lastweg.
We gaan nu onderzoeken hoe dat zit.

Een bewegend model van de kraan kun je net zo krijgen als bij voorbeeld 9: Je vindt hem als tweede van de twee hijskranen als je op applet voor twee hijskranen klikt.

Bij deze kraan is AD vertikaal. A is een vast draaipunt.
BE is de kraanarm. C is een vast scharnierpunt op BE.
B kan op en neer worden bewogen. Daardoor kan de kraanarm BE dus bewegen.
Gegeven is: AC = BC. Er wordt dus steeds voor gezorgd dat AC even lang is als BC.
De hijskabel loopt via de route DBCEL.

Opdrachten kraan met vertikaal geleide arm

  1. Verken de werking van de kraan. Versleep punt B om de bewegingen van de kraan te begrijpen.
    Als B omhoog gaat, wat doet E dan? Zorg er voor dat de lastweg getekend wordt.
  2. Bij deze kraan hangt de vorm van de lastweg af van de lengteverhouding van de stukken AC en BE. De lengte van die stukken kun je dan ook wijzigen.
    Zoek uit hoe je die verhouding moet kiezen om de lastweg zuiver horizontaal te maken.
  3. Probeer nu een sluitende redenering te vinden die, uitgaande van de gekozen verhouding, duidelijk maakt waaróm de lastweg bij die verhouding horizontaal is.
    Tip1: let op het midden van arm BE. Dat is gemarkeerd.
    Tip2: eigenlijk is de kraan op te vatten als een deel van de hoogwerker in voorbeeld 4.

Praktische opdracht

Deze praktische opdracht moet je uitvoeren in groepjes van 2.

Je maakt er een schriftelijk verslag van.

  • Het verslag bevat een voorblad waarop de namen van de leden van het groepje en de titel van de opdracht.
  • Dan de inhoudsopgave.
  • Dan de uitwerking van de opdrachten. Je moet het zo beschrijven dat het ook te volgen is voor iemand die het opdrachtenblad niet heeft.
  • Verder moet je niet alleen de antwoorden opschrijven maar je moet ook uitleggen hoe je aan het antwoord gekomen bent.
  • Je voegt aan het verslag ook een logboek toe, daarin staat beschreven wie wat en wanneer gedaan heeft. Dat kun je in de tabel hieronder bijhouden.
  • Het verslag lever je .............................. persoonlijk bij me in.
  • De beoordeling gaat via STIP :
  • S =struktuur , T = techniek en taal, I = inhoud, P =presentatie en proces
Logboek PO WB havo-4 van .......... en .................
datum tijd Werkzaamheden door opmerkingen